Les bobines

Une bobine est constituée d’un enroulement de fil conducteur, recouvert d’un vernis isolant, sur un cylindre de rayon r.

- On désigne par l la longueur de l’enroulement et par r le rayon d’une spire :..

- Si L est petit devant r, la bobine est plate.

- Si L est voisin de r la bobine est appelée : solénoïde.

- Si L est plus grand que 10 r, le solénoïde est dit infini...

II- Influence d’une bobine dans un circuit. (TP Physique N° 08)

Expérience : Retard à l’établissement du courant......

- Montage 1 :

- Observations : La lampe L ₂ s'allume avec un retard sur la lampe L ₁.

- Il se produit un retard à l'établissement du courant dans la portion de circuit qui comporte la bobine.

- Une bobine s’oppose transitoirement à l’établissement du courant dans un circuit....

- En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

III- Caractéristiques d’une bobine

1)- L’inductance d’une bobine.

- Une bobine est un dipôle, de bornes A et B, caractérisé par son inductance L exprimée en henry (symbole H).

- On utilise souvent le millihenry ( mH).

- L'inductance L de la bobine est une constante positive qui ne dépend que des caractéristiques géométriques de la bobine

- pour une bobine de longueur l, qui possède N spires de surface S.

2)- Résistance d’une bobine.

- En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

- Une bobine est aussi caractérisée par sa résistance r qui s’exprime en ohm (W).

3)- Représentation symbolique d’une bobine.

4)- Expression de la tension aux bornes d’une bobine.

- Une bobine est caractérisée par son inductance L et sa résistance r.

- La bobine étant orientée de A vers B, la tension u _AB aux bornes de la bobine est donnée par la relation :

Tension aux bornes d’une bobine : u AB tension en volt (V)
u AB = L . di dt	+	r . i	{	I intensité en ampère (A)
				r résistance en ohm (W)
				L inductance en henry (H)

- Remarque : cas d’une bobine idéale (r = 0)

u AB = L .	di
	dt

- On peut aussi utiliser cette écriture si r << R (résistance du circuit).

IV- Établissement du courant dans une bobine. (TP Physique N° 08).

1)- Étude expérimentale : Réponse à un échelon de tension.

- Montage 2 : réponse d’une bobine à un échelon de tension.

- Il comprend : Un générateur idéal de tension E = 3,2 V ; un conducteur ohmique de résistance R’= 18 W, une bobine d’inductance L et de résistance r = 8,8 W et un interrupteur K.

- Au temps t = 0 s, on ferme l’interrupteur en le basculant sur la position 1.

- Que visualise-t-on à la voie 1 de la carte CANDIBUS ?

- On visualise les variations de la tension aux bornes du conducteur ohmique, c'est-à-dire la tension u _BM.

- Si l'on considère qu'au temps t, le courant circule dans le sens positif choisi,

u BM = R' . i

Þ

i = 1 R'

. u BM

- On visualise les variations de l'intensité en fonction du temps, ceci à une constante près.

- Observations : On pose : R = r + R’

- La tension aux bornes du dipôle (R, L) passe brutalement de la valeur à la valeur E = 3,2 V.

- L’intensité traversant le circuit est nulle juste après la fermeture de l’interrupteur K, puis elle augmente progressivement jusqu’à atteindre une valeur maximale et reste constante.

- Le courant met environ la durée Dt » 8,0 ms pour s’établir.

- Premier temps : t

- t Î [ t ₀, t ₀ + Dt] : régime transitoire, établissement du courant dans la bobine.

- t Î [ t ₀ + Dt, t ₁ ] : régime permanent, le courant est établi.

- La bobine s'oppose à l'établissement du courant dans le circuit.

2)- Équation différentielle vérifiée par l’intensité i.

- On ferme l’interrupteur. On oriente le circuit et on étudie le dipôle (R, L).

- La loi d’additivité des tensions dans le circuit série permet d’écrire :

E = u AB + u BM
E = (L . di dt + r . i) + R' . i

- En ordonnant, on peut écrire :

E = L . di dt	+	( r + R'). i
En posant R = r + R'
E = L . di dt	+	R . i (1)

- On reconnaît une équation différentielle du premier ordre avec deuxième membre qui admet une solution du type :

- i (t) = A . e ^{k t} + B où A, B et k sont des constantes.

3)- Détermination des constantes.

- On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales et des paramètres du circuit.

- Première étape : on reporte l’expression de la solution dans l’équation (1).

-

- La relation (2) est vérifiée à chaque instant.

- Or E = c^te, R . B = c^te et t et par conséquence e ^{k t} varient au cours du temps.

- Il faut nécessairement que :

{	(L . k + R ) . A = 0	Þ	{	k = - R L
	E = R . B			E = R . B
La solution A = 0 n'a pas de signification physique

- Conditions initiales : au temps t = 0 s, l’intensité dans le circuit est nulle : i (0) = 0.

- On déduit de ceci que :

i (0) = A .e k . 0 + B = 0 Þ A + B = 0

Þ

A = - B = - E R

- Relation donnant l’intensité traversant le dipôle (R, L) soumis à un échelon de tension E :

-

- Expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps.

- On peut en déduire l’expression de la tension aux bornes de la bobine :

-

- étude de la relation :

- Quelle est la valeur de la tension aux bornes de la bobine au temps t = 0 s ?

- u _AB = E.

- Quelle est la valeur de l’intensité dans le circuit lorsque t tend vers l’infini ?

i (¥) = I

=

E R

V- Rupture du courant dans un circuit.

1)- Expériences.

- Montage 1 : visualisation du phénomène à l'oscilloscope.

- Il comprend :

- Un G.B.F qui délivre une tension carrée f = 1000 Hz

- Un conducteur ohmique de résistance R ₁ réglable de 0 à 500 W.

- Une bobine d'inductance L = 20 mH et de résistance r = 20 W.

- Un conducteur ohmique de résistance R = 18 W.

- Que visualise-t-on à la voie A de l'oscilloscope ?

- On visualise les variations de la tension aux bornes du G.B.F, c'est-à-dire la tension u _AM.

- Que visualise-t-on à la voie B de l'oscilloscope ?

- On visualise les variations de la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R ₁, c'est-à-dire la tension u _BM.

- Si l'on considère qu'au temps t, le courant circule dans le sens positif choisi

u BM = R1 . i

Þ

i = 1 R1

. u BM

- On visualise les variations de l'intensité en fonction du temps, ceci à uns constante près.

- Observations : la courbe qui apparaît à la voie B, ne suit pas exactement les variations de celle qui apparaît à la voie A.

- Il y a un retard à l'établissement et à l'annulation du courant dans le circuit

2)- Interprétation.

- Premier temps :

- t Î [ t ₀, t ₀ + Dt] : régime transitoire, établissement du courant dans la bobine.

- t Î [ t ₀ + Dt, t ₁ ] : régime permanent, le courant est établi.

- La bobine s'oppose à l'établissement du courant dans le circuit.

- Deuxième temps :

- t Î [ t ₁, t ₁ + Dt] : régime transitoire, établissement du courant dans la bobine.

- t Î [ t ₁ + Dt, t ₂ ] : régime permanent, le courant est établi.

- La bobine s'oppose à l'annulation du courant dans le circuit. La bobine s’oppose à la diminution de l’intensité du courant électrique dans le circuit.

3)- Équation différentielle vérifiée par l’intensité i lors de l’ouverture du circuit.

- L’interrupteur étant sur la position 1, on le bascule sur la position 2.

- On oriente la partie du circuit qui nous intéresse :

- D’après la loi d’additivité des tensions dans un circuit série, on a l’égalité :

u AB + u BM = 0
E = (L . di dt + r . i) + R' . i = 0

L . di dt	+	( r + R'). i	= 0
En posant R = r + R'
L . di dt	+	R . i = 0 (1)

- On reconnaît une équation différentielle du premier ordre en i sans deuxième membre.

- Elle admet une solution du type : i(t) = A . e ^{k t} + B où A, B et k sont des constantes.

- On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales et des paramètres du circuit.

- Il découle de la relation que :

-

- Il faut nécessairement que :

{	(L . k + R ) . A = 0	Þ	{	k = - R L
	0 = R . B			B = 0
La solution A = 0 n'a pas de signification physique

- Condition initiale : au temps t = 0 s, L’interrupteur est en position 1.

- Le courant est établi est l’intensité dans le circuit est donnée par la relation :

i (0) = E R

- On déduit de ceci que :

i (0) = A .e k . 0 + B = E Þ A + B = R	E		Þ	A = E R
	R

- L’intensité du courant électrique i traversant le dipôle (R, L) a pour expression :

-

- Remarque : lorsque t tend vers l’infini, alors i (t) tend vers zéro.

- Le courant électrique ne s’annule pas brusquement à l’ouverture du circuit.

- La bobine s’oppose à la diminution de l’intensité du courant électrique dans le circuit.

- De façon générale, une bobine s’oppose aux variations de l’intensité du courant électrique dans un circuit.

- Expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps.

- On peut en déduire l’expression de la tension aux bornes de la bobine :

-

- En utilisant le fait que : R = r + R’ :

-

- Quelle est la valeur de la tension aux bornes de la bobine au temps t = 0 s ?

- , elle est négative.

- La bobine se comporte comme un générateur de f.é.m .

- Quelle est la valeur de l’intensité dans le circuit lorsque t =0 s?

i (0) = I = E R

- Lorsque le temps t tend vers l’infini, i (¥) = 0 et u _AB (¥) = 0.

- L'intensité dans le circuit ne subit pas de discontinuité.

VI- Constante de temps du circuit

1)- Expression de la constante de temps t.

- La durée de l’établissement ou de l’annulation du courant dans un circuit (R, L) dépend de la résistance R et de l’inductance L du circuit.

- On appelle constante de temps du circuit (R, L), la valeur :

t = L R

- t constante de temps : seconde s.

- R résistance du circuit ohm W.

- L inductance du circuit : henry H.

- Lors de l’établissement du courant, l’expression de l’intensité du courant électrique dans le circuit est donnée par l’expression :

-

- Lors de l’annulation du courant électrique dans le circuit :

-

2)- Analyse dimensionnelle :

-

- D’autre part de la relation : , on tire que :

-

- En combinant (1) et (2) :

- Le rapport a la dimension d’un temps. Il s’exprime en seconde dans le S.I.

3)- Détermination de la constante de temps t.

- Pour déterminer graphiquement la valeur de t, on trace la tangente à l’origine à la courbe i = f (t) et l’asymptote horizontale à cette courbe.

- L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites donne la valeur de la constante de temps t.

-

- D’après la relation :

- Pour t = t :

- Pour t = 5 t :

VII- Énergie emmagasinée dans une bobine.

1)- Expériences : Étincelle de rupture moteur avec bobine et noyau de fer doux.

- Montage :

- Les étincelles de rupture montrent que l'énergie emmagasinée dans la bobine est libérée brutalement lors de l'ouverture du circuit.

- L'étincelle correspond à la conduction de l'air. Si le stylet est distant de 0,1 mm, alors : e » 300 V et le champ électrique E » 300000 V / m, potentiel disruptif de l'air sec.

2)- Expression de l'énergie emmagasinée dans une bobine.

- Une bobine d'inductance L, traversée par un courant d’intensité i, emmagasine de l'énergie. C'est de l'énergie magnétique que l'on note E _m ou W _L.

		E m énergie en joule (J)
E m = W L = 1 2 L . i 2		L inductance en henry (H)
		I intensité en ampère (A)

- L’intensité du courant électrique dans un circuit comportant une bobine ne subit pas de discontinuité. Le courant s’établit de façon progressive et s’annule de la même façon. L’intensité du courant électrique ne peut pas passer de façon instantanée de la valeur zéro à la valeur I